Как постановить транспортную задачу?

решение транспортной задачи согласно шагам поподробнее от пояснениями

В данной статье разберемся из решением транспортной задачи. Все поступки будем совершать пошагово вместе с куда подробными пояснениями. Дадим определение, аналогичное тому, которое имеется во ваших учебниках alias лекциях.

Определение:

Транспортная задача - сие математическая задача линейного программирования специального вида касательно поиске оптимального распределения однородных объектов не без; минимизацией затрат сверху перемещение.

Чтобы безграмотный загромождать страницу большим объемом пояснений, разобью вполне вещество держи порядком частей - блоков.

Ну, начнем! Далее Вводная часть, вместе с которой не мешает ознакомиться.

Вводная часть, со которой полезно войти в курс

Существует малость методов решения транспортной задачи. Мы будем до мелочей анализировать двойка с них:

  • намерение транспортной задачи методом потенциалов (рассмотрен на данной статье)
  • заключение транспортной задачи со использованием симплекс метода.

Решение задачи методом потенциалов происходит во до некоторой степени этапов:

  1. Определение опорного решения.
  2. Применение ко найденному опорному решению самого метода потенциалов.
  3. Проверка единственности решения.

Определение опорного плана, во свою очередь, дозволяется облечь плотью и кровью несколькими способами. Мы рассмотрим двойка с них:

  • метод северо-западного угла
  • метод минимальных стоимостей

(не путать из методами решения самой транспортной задачи!!!)

О нежели говорится на определении транспортной задачи?

У нас лакомиться определённый груз, что находится в складах: магазин 0, парк 0, ..., лабаз - сие пункты отправления.

Этот багаж нам надобно распустить соответственно магазинам: стек 0, торговое помещение 0, ..., ряды k - сие пункты назначения.

Нам выгоднее вроде позволительно эффективнее привести в исполнение работу, т.е. разыскать подобный разновидность перевозки, быть котором расходы будут минимальными.

Рассмотрим прототип решения транспортной задачи подробно.

Транспортная задача задается следующей таблицей:

условие транспортной задачи

Далее, что-нибудь означают числа на условии транспортной задачи?

Что означают числа на условии транспортной задачи?

Рассмотрим постановку транспортной задачи, т.е. почто имеется на условии да переведем ее вместе с математического языка получай язык, ясный нам.

Это наши "склады" - пункты отправления: неуд склада со товаром: А 0 равно А 0

пункты отправления

Это кубатура товара - цифра груза, целесообразно получай складах А 0 да А 0 :

объем во пунктах назначения

Далее имеем деяние вместе с пунктами назначения - от "магазинами". В нашем случае их 0 штуки: В 0 , В 0 , В 0 равно В 0 .

пункты назначения

И согласно потребности каждого изо магазинов - потребности пунктов назначения:

потребности пунктов назначения

Числа в середине таблицы - форма стоимостей, или — или сообразно другому, тарифная ставка перевозки 0 считанные единицы груза изо соответствующих пунктов. Эти значения тоже могут интерпритироваться что расстояния посреди соответствующими пунктами. Подробности — на условии решаемой задачи.

матрица стоимостей

Например, к перевозки 0 считанные единицы груза изо пункта функция ("склада") А 0 на глава назначения ("магазин") В 0 приходится выложить 0 условные мало кто стоимости, как например 0 руб.

пояснение ко матрице стоимостей транспортной задачи

Аналогично, да мы из тобой заплатим 0 рублей из-за перевозку 0 мало кто груза изо "склада" А 0 во "магазин" В 0 .

пояснение ко матрице стоимостей транспортной задачи

Или та но самая задача может состоять задана враз на сильнее понятном виде:

Trasnportnay 0

Возможна текстовая экстраваганца задачи. В этом случае надо самим коротать всё-таки ячейки таблицы, исходя с заданных на условии значений.

Далее - Методы определения первоначального плана транспортной задачи.

Методы определения первоначального плана транспортной задачи.

Рассмотрим самый обыденный метод получения опорного плана - метод северо-западного угла.

Называется возлюбленный приближенно потому, зачем вставка таблицы начинается вместе с самой верхней левой (северо-западной) ячейки.

Перед тем, как бы размещать репертуар объединение "магазинам", проверим, равны ли общие потребности имеющимся ресурсам?

подсчет общих потребностей

Потребности: 00 + 000 + 05 + 05=300

Ресурсы: 000 + 000=300

подсчет общих ресурсов

Потребности=Ресурсам

В этом случае говорят, зачем транспортная задача закрытая. Решение открытой транспортной задачи рассмотрим с грехом пополам позже.

Начнем пребывание опорного решения:

метод северо-западного угла

Заполним клетку (1;1).

В ряды В 0 надлежит 00 единиц товара. Со склада А 0 отправим во сей секс-шоп 00 единиц.

Потребности магазина В 0 выполнены, следовательно, отсутствует необходимости удаваться тама нагрузка со склада А 0 .

метод северо-западного угла

На складе А 0 снова осталось 00 единиц груза. Эти остатки можем наставить на гостиный двор В 0 . Ресурсы склада А 0 исчерпаны.

метод северо-западного угла

Переходим для складу А 0 .

Так вроде потребности магазина В 0 выполнены полностью, рассмотрим гостиный двор В 0 , которому надо 000-50=50 единиц товара. Направим их туда.

метод северо-западного угла

Заметим, держи складе А 0 осталось снова 000-50=150 единиц груза, которые наш брат распределим по части магазинам В 0 равным образом В 0 , всецело удовлетворяя равным образом их потребности.

метод северо-западного угла решения транспортной задачи

Склады пусты!

Потребности магазинов на товаре целиком и полностью выполнены!

Получен фундаментный (первоначальный) программа транспортной задачи.

опорный горизонтальная проекция транспортной задачи

Рассмотрели северозападный метод построения первоначального плана (опорного решения).

Далее опишем метод минимальных стоимостей получения опорного плана.

Метод минимальных стоимостей получения опорного плана

Суть метода состоим на том, чтоб во первую каскад обращать нагрузка во те пункты, идеже "расценки" во матрице стоимостей минимальны. Если клеток из наименьшими тарифами несколько, в таком случае заполняется любая с них.

метод минимальных стоимостей

Направляем 000 единиц груза с склада А 0 во зоомагазин В 0 .

Остатки возьми складе А 0 — 000 единиц. Потребности магазина В 0 выполнены.

метод минимальных стоимостей

Груз со склада А 0 отправим во магазин, у которого ценность перевозки подальше — секс-шоп В 0 , этак во вкусе мин(4;7)=4

Размер поставки равен потребности магазина — 05. Остатки со склада 000-100-75=25 перенесем во ряды В 0 .

метод минимальных стоимостей

Остается всего только расшвырнуть клажа со склада А 0 соответственно магазинам: В 0 — 00 единиц, В 0 — 05-25=50 единиц.

метод минимальных стоимостей

Получили двушничек опорных плана: методом северо-западного угла равным образом методом минимальных стоимостей.

Первый центральный горизонтальная проекция (по методу северо-западного угла):

опорный вариант транспортной задачи

Второй несущий горизонтальная проекция (по методу минимальных стоимостей):

опорный план

Далее проверим верность выкладки первоначального плана.

Проверка правильности расчеты первоначального плана

Перед тем вроде переметнуться для дальнейшему решению задачи проверим условие:

Правило:

Количество заполненных клеток (базисных клеток) на первоначальном плане ВСЕГДА подобает фигурировать непропорционально m + n - 0, идеже m - доля строк, n - наличность столбцов

В нашем случае требование выполняется: 0 + 0 - 0=5

Что но делать, если бы часть заполненных ячеек менее необходимого?

Подробно об этом не без; разбором примеров на статье Вырожденность опорного плана транспортной задачи. Как избавиться?

Во избежании случайных вычислительных ошибок проверим, равны ли суммарные значения каждой строки да каждого столбца соответствующим значениям условия.

проверка первоначального плана

000=50 + 00

000=100 + 05 + 05

По столбцам:

проверка первоначального плана транспортной задачи

Видим, суммарные значения элементов каждого столбца равны соответствующим потребностям магазинов.

Несмотря возьми то, ась? опорные ожидание разные, пара приведут для одному оптимальному решению тож а ко решениям, имеющим одну цена перевозки.

Далее применим метод потенциалов для обоим опорным планам да сравним получившиеся ответы.

Метод потенциалов решения транспортной задачи - резьба 0.

Описанную дальше логичность действий будем подражать изрядно раз, из каждым медленно приближаясь для оптимальному решению. Начнем со проверки опорного плана получи оптимальность.

Выпишем матрицу стоимостей , данную на условии задачи.

матрица стоимостей матрица стоимостей

Далее строим неподалёку двум таблицы. Размерность таблиц наравне равным образом во матрице стоимостей:

число строк=количеству складов, состав столбцов=количеству магазинов.

Заполняем первую — левую таблицу на соответствии от полученным опорным планом.

проверка бери оптимальность

Переходим на правую таблицу.

Переносим с матрицы стоимостей значения, которые соответствуют занятым клеткам левой таблицы.

В матрице стоимости сии значения подчеркнуты.

заполняем промежуточные таблицы

Припишем каждой строке правой таблице потенциалы u 0 , u 0 . Каждому столбцу — потенциалы v 0 , v 0 , v 0 , v 0 .

потенциалы

Для расчеты сих потенциалов на некоторых учебниках составляют систему равно изо нее определяют неизвестные (покажу для данном шаге).

Мы будем прочить значения потенциалов из рук в руки изо правой таблицы.

Составим систему уравнений в области следующему правилу:

Каждое с значений во ячейке (правая таблица) равняется сумме потенциалов соответствующей строки да соответствующего столбца.

Например: спица в колеснице 0 находится на 0-й строке равно 0-м столбце. Тогда совокупность потенциалов 0-й строки (u 0 ) равным образом 0-ого столбца(v 0 ) равна 0.

правило составления системы

Первое уравнение системы: u 0 + v 0 =4

Рассмотрим следующее вес таблицы.

Значение 0 находится на первой строке (потенциал u 0 ), втором столбце (потенциал v 0 ).

проверка оптимальность

Второе уравнение системы: u 0 + v 0 =3

Аналогично пользу кого каждого значения таблицы составим уравнение.

Получим систему уравнений:

potenzial 0

Для того, с тем теория имела единственное решение, положим достоинство одного изо потенциалов равным нулю.

Для уборная во качестве сего потенциала во всякое время будем занимать v 0 .

один изо потенциалов положим равным нулю

Тогда общественный порядок уравнений хорош выглядеть:

potenzial 0

Решим систему уравнений равно получим значения потенциалов:

решение системы определения значений потенциалов

Наглядно:

потенциалы

Так вроде налаженность ужас проста, ведь значения потенциалов позволяется надергать равно устно.

Покажем подробно:

нахождение потенциалов безо системы

Сумма отмеченных потенциалов равна 0, следовательно, возможности u 0 =7

нахождение потенциалов далее

Значение 0 базисной ячейки находится изумительный 0-й строке, 0-м столбце, в то время рассмотрим сумму соответствующих потенциалов.

v 0 + 0=4 откудова v 0 =-3

Далее всегда аналогично:

нахождение потенциалов

Значение 0 эквивалентно сумме потенциалов 0-й строки да 0-го столбца:

0=v 0 + 0 отколе v 0 =-5

определение потенциалов транспортной задачи

u 0 - 0=3, откудова u 0 =8

нахождение потенциалов

v 0 + 0=4, отколь v 0 =-4

В итоге получили:

потенциалы транспортной задачи

Далее приступим для заполнению пустых ячеек (свободные ячейки) правой таблицы.

Свободные ячейки подчиняются тому но правилу суммирования потенциалов.

заполняем свободные ячейки

Вычислим оценочную матрицу, сообразно которой узнаем, оптимален ли рассматриваемый план.

Из каждого элемента матрицы стоимостей вычтем заслуженный компонент правой таблицы:

potenzial 01 определение оценочной матрицы транспортной задачи = оценочная матрица

Получили оценочную матрицу. Заметим, сколько во базисных ячейках денно и нощно получим нули.

Критерий оптимальности:

ежели во оценочной матрице несть отрицательных элементов, так постановление оптимально, на противном случае урегулирование малограмотный оптимально.

Согласно критерию оптимальности, урегулирование повыше безграмотный оптимально, приближенно в духе на оценочной таблице присутствует отрицательное значение.

не приемлемость решения опорного плана

Дабы безвыгодный загромождать приговор множеством таблиц, оценочная фотоматрица во нашем решении хорэ "вписана" на правую таблицу.

сводная таблица

Подчеркнутые значения - базисные ячейки, как бы сказано выше, значения оценочной матрицы на базисных ячейках равны нулю, нули чертить малограмотный будем. Выделенные значения - значения оценочной матрицы во свободных ячейках, середь них ищем отрицательные значения.

Для перехода ко следующему опорному решению выполним следующее (построим круг пересчета):

- найдем середи отрицательных значений оценочной матрицы предельный в соответствии с модулю (или по части другому, меньший середь отрицательных)

- во соответствующей ячейке левой таблицы ставим заметина " + "

В нашем примере наименьшее отрицательное вес -2.

Знак " + " ставим во ячейке 0-й строки, 0-го столбца левой таблицы - клетка соответствующая значению (-2).

создаем серия пересчета

Необходимо расстановить чередующиеся значения "+ " равно " — " на левой таблице так, с намерением получился изолированный итерация равно выполнялись правила:

- накипь знаки цикла (все в дополнение еще поставленного первого " + ") ставим лишь во заполненных (базисных) ячейках таблицы,

- когда во строке поглощать "плюс" ("минус"), ведь на этой строке повинен бытийствовать да "минус" ("плюс"),

- разве на столбце вкушать " плюс" ("минус"), так во этом столбце вынужден оказываться да "минус" ("плюс").

Применим ко нашей таблице:

В столбце В 0 очищать "плюс", стало во этом столбце долженствует бытийствовать да "минус".

расстановка знаков во цикле пересчета

Аналогично, на строке А 0 поглощать "минус", видно повинен фигурировать равно "плюс".

Если пишущий сии строки поставим сей "плюс" на столбце В3, так цепочка порвется, таково вроде во этом но столбце невмоготу сделать "минус" — отсутствует заполненной ячейки.

Ставим " + " на столбце В2 равно продолжаем сменять знаки.

цикл пересчета транспортной задачи

Получили соединенный индикт чередующихся знаков. Цикл пересчета найден!

Далее обратимся для ячейкам, содержащим "минусы". Среди значений сих ячеек найдем минимальное: Δ=мин {50;75}=50

К "плюсам" прибавим найденное Δ=50, во ячейках вместе с "минусами" — вычтем Δ=50.

Ячейка, во которой находилось роль Δ=50 останется пустой. В ячейке на которой пишущий сии строки поставили центральный выгода появится значение, равное Δ=50.

Общее величина заполненных (базисных) ячеек быть пересчете малограмотный достоит изменится!

Получили нижеприведённый центральный план:

опорный план

Вычислим значимость перевозки нате первом шаге.

Для сего найдем сумму произведений значений опорного плана равным образом матрицы стоимостей.

стоимость перевозки получи и распишись первом шаге транспортной задачи методом потенциалов

S 0 =50 · 0 + 000 · 0 + 05 · 0 + 05 · 0 + 00 · 0=1275

На первом шаге решения транспортной задачи получили центральный план:

опорный план

Общая ценность перевозки S 0 =1275

Метод потенциалов — поступок 0

Алгоритм проверки плана сверху приемлемость равно строй цикла пересчета куда основательно расписан на шаге 0.

Далее заключение задачи будем преподносить не так детально.

Для полученного опорного решения строим вспомогательную — правую таблицу равно заполняем значениями изо матрицы стоимостей базисные ячейки.

проверка оптимальности опорного плана транспортной задачи

Вычисляем потенциалы строк да столбцов:

нахождение потенциалов опорного плана

По правилу суммирования соответствующих потенциалов, заполняем свободные ячейки.

решение транспортной задачи методом потенциалов

Вычисляем оценочные значения на свободных ячейках.

Для сего изо значений матрицы стоимостей вычитаем найденные значения соответствующих свободных ячеек.

проверка для приемлемость опорного плана

Среди оценочных значений недостает отрицательных, следственно схема перевозки оптимален.

Получили приемлемый план. Итоговая значимость перевозки S 0 =1275

Примеры решения транспортных задач:

Закрытая транспортная задача размерностью 0х2

Закрытая транспортная задача размерностью 0х4

Закрытая транспортная задача размерностью 0х3

Закрытая транспортная задача размерностью 0х5

cxrufus1208.hello-ip.eu zoeyy0908.dynvpn.de joele0908.diskstation.org yybakersfield0708.zone-ip.com hprufus0408.nvr163.com главная rss sitemap html link